1.

2.

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定积分的应用：求不规则容积、面积

黎曼积分：

不订积分求原函数】

梯度下降

梯度表示的是一个方向，函数下降最快的时候，导数变化方向为梯度方向，即方向向量为梯度方向。

损失函数，所有残差平方的均值，

目标，是求损失函数的最小化。

用梯度下降，求损失函数的最小值

学习率？？？

洛必达法则求极值

凸函数

泰勒公式：

用多项式函数近似逼近任意一个光滑函数。导数值做系数构建多项式，来近似函数在这一点领域中的值，这个多项式称为泰勒多项式，它与实际值的偏差，称为余项。

拉格朗日型余项：函数头尾两点的值连线的斜率，总能在函数上找到某一点切线斜率，与之相同。

麦克劳伦公式

连续与不连续的问题

导数的来源：变化率的问题

导函数：函数在某点可导：函数、点、可导

有限增量公式：求导的反向+高阶无穷小。

导函数：函数在某区间可导：函数、区间、可导

微商：

熟记常用的导函数：常函数、指数函数、幂函数、对数函数、三角函数。

极值点，极大值，极小值，端点不能漏

费马定理

求导的四则运算

复合函数求导，又称链式法则，即从外往内逐一进行求导（≥2个函数复合），最后乘积

反函数求导，

高阶导数：二阶可导，函数、点或者区间，可导，n阶可导

求极值：方法一：先求驻点，求导，由负值到正值（二阶导为正），该点局部最小；相反，正值到负值（二阶导为负），该点局部最大。

方法二：多次求n阶导数，直到n阶导为0 ，当n为奇数，且n+1阶导为正，该点为极小值；为负时该点为极大值，如果n为偶数，则该点不是极值。

微分：y的差值与x差值的线性近似式，其中线性因子为f(x)的导数。（切线段代替曲线段）

导数=微商

微分四则运算类比导数的四则运算

偏导数：

e的来源

收敛和发散

数列极限及其性质

夹逼准则及四则运算法则

数列极限（分散点组成）柯西收敛准则，任意两个值在某一N值之后，差值小于另一个某值，优点，避免求极限值A

函数极限基本与数列极限的解释方法基本保持一致

函数极限的性质 ，四则运算与数列四则运算一致。

y = f(x),f是一种映射关系，其中x应该满足某种条件下。

值域是y的全集

单值函数，一对一

多值函数，一对多

有界、无界

单调性、奇偶性，周期性

反函数

复合函数，要求被嵌套的函数值域应该在嵌套函数的定义域内。

常函数、幂函数、指数，对数（互逆）、三角函数、反三角

指数函数的运算

对数函数的运算

非初等函数：狄利克雷函数

线性相关、线性无关

系数全为零，无关

系数有一组不为零，相关

秩与 Ax=bAx=b 的解的关系 
秩 r 的 m×nm×n 的矩阵 AA 始终有：r≤m,r≤nr≤m,r≤n.

1. 列满秩：r=nr=n，各列线性无关(此时必有n≤mn≤m) 
   • 每列都有主元，没有自由变量
   • 零空间只有零向量，列的线性组合无法产生0向量
   • Ax=b的解：0个或者一个，如果有的话，那么唯一解是特解 xpxp
   • 此时A的 rref 矩阵满足形式 R=[I0]R=[I0]

2. 行满秩：r=mr=m，各行线性无关(此时必有 m≤nm≤n)

   • 每行都有一个主元，自由变量 n-r 个
   • 对任意的 bb, Ax=bAx=b 都有解，且有无穷多个解
   • 此时A的 rref 矩阵满足形式 R=[IF]R=[IF]

3. 满秩方阵，r=m=nr=m=n，行向量、列向量 均线性无关

   • 零空间只含0向量
   • 对任意的b，Ax=bAx=b 都有解，且唯一
   • 可逆矩阵
   • 此时A的rref矩阵为 R=I

主列、自由列

自由变量赋值，回代

每个自由变量对应一个特解，零空间包含所有特解的线性组合。

算法总结：消元后矩阵U 的秩Rank(A)=r，表示主变量的个数，主元的个数，表示只有r 个方程起作用， 
那么自由变量的个数即n-r 个，令自由变量取1,0 值就能得到特解，所有的特解构成了零空间的基，特解的线性组合即构成了整个零空间。

主列进行简化成单位阵，得到了简化行阶梯形式，再对自由列赋值1，0回代

I和-F交叉组合

特解

子空间

零向量、本身、过圆点的所有直线、子空间都满足线性组合封闭。

列空间

独立性

零空间

线性组合封闭才能构成空间

LU分解

转置的概念：行列互换

A = LU ===> A = LDU

对称阵

逆矩阵

 同时处理两个方程组，增广矩阵-->消元操作-->  消元结果为I-->回代

上节重点：线性组合

消元：计算机解线性方程组的重要方式；用于简化矩阵形式A

主元，即为斜对角线的值。消元的方式，主要通过逐一将主元列下方的数值减去该主元所在的行的n倍，使主元列下方的值为0。

最后称为上三角矩阵。#（前提是主元不能为0，否则为奇异矩阵或不可逆矩阵）#

失效情形：当主元为0 时可以换行操作，保持主元不为0的原值，若换行后消元后主元依然为0，则失效

增广矩阵：-->[A b]

消元后回到，快速求解。 

1、列的线性组合理解矩阵乘法

2、行的线性组合理解矩阵解法

3、列乘行理解矩阵乘法

4、分块乘法。

消元矩阵：EA = U

求解线性方程组：Ax = b

n个未知数，n个方程求解

##线性组合，由向量做系数，分别乘以未知数cV+bW

##所有组合因为系数的不同，可以得到任何一个组合。

##线性代数的有点：扩展性强，能快速从低维向高维拓展；

n维空间代表n个元素

而n个n维向量的线性组合可能至多到n维空。

奇异矩阵，（元素存在线性关系），不能覆盖n维空间。